En el mundo de las Matemáticas existen conocimientos generados a lo largo de la historia de la humanidad. Un ejemplo es la representación del espacio; comenzó cuando se habló del plano Cartesiano, en el Renacimiento y con Descartes, para representar cada uno de los puntos que forman una figura geométrica, localizados en un plano denotándolos como un par de números: (x,y).
Desde finales del XIX los matemáticos se preguntaron y encontraron otras formas de representar lo que ocupaba un lugar en el espacio y cómo se verían los objetos si se deformara el espacio al mismo tiempo. En esta actividad se llevarán a cabo transformaciones de una hoja de papel, ante los retos hay que poner la imaginación a trabajar.
- 2 hojas tamaño carta de papel revolución.
- 1 plana (dos páginas) de papel periódico.
- 1 tijeras para papel.
- 1 cinta adhesiva.
- 1 caja de crayones de colores.
Primer experimento
Reta a un amigo a pasar por un agujero hecho en una hoja de papel. Para ello, dale un hoja tamaño carta, las tijeras de papel y pide que él haga el agujero del tamaño que desee.
¿Podrá hacer un agujero lo suficientemente grande para poder pasar?
- La solución está en la forma como se hace el agujero: dobla la hoja por la mitad y haz cortes por donde se indican las líneas gruesas.
- Desdobla con cuidado la hoja, se observarás que queda una hoja con cortes como la Figura.
- Por último corta la hoja por la mitad desde el punto marcado con X hasta el otro punto marcado con X´.
- Los cortes deben estar separados una distancia de un centímetro aproximadamente. No importa el número de cortes que se hagan, siempre que se respete el patrón que se propone en la Figura.
- Una vez hecho el corte a lo largo de XX´, se jala al mismo tiempo la parte de arriba y la de abajo, y se obtendrá un largo rizo cerrado como el que se muestra en la Figura D.
- El agujero sea lo suficientemente grande para que pueda pasar una persona con facilidad.
- Conviene ensayar los cortes. Si se diminuye la distancia de separación entre ellos, aumentará el tamaño del agujero, pero se corre el riesgo de que se rompa el rizo que se muestra en la Figura D.
Segundo experimento
- Corta varias tiras de papel periódico con un largo de 25 cm y de 2 cm de ancho aproximadamente.
- Pega los extremos de una de las tiras con un pedazo de la cinta adhesiva, de tal forma que se forme un círculo de ella.
- Marca a la cinta por la mitad con un crayón.
- Corta la cinta con las tijeras a lo largo de la línea hecha con el crayón.
¿Qué es lo que se obtiene? ¿Cuantos círculos se obtienen?
- Se toma otra de las tiras de papel periódico, en esta ocasión antes de pegar los extremos de ésta, ¡se le da una media vuelta a uno de los extremos y se pega con la cinta adhesiva!
- Pinta con un crayón una raya por la mitad y a lo largo de la cinta. ¿Qué ocurre cuando se está pintando la raya?
- Ahora corta con las tijeras a lo largo de la línea pintada. ¿Cuántas cintas de papel se obtienen? ¿Qué ocurrió con la raya pintada? Obtuviste lo que se conoce como una banda de Moebius. ¿Qué ocurre si ahora vuelves a cortarla a lo largo de la línea imaginaria que la recorre?
- A la tercera de las tiras, antes de pintarle la raya con un crayón, se le da una vuelta completa a uno de los extremos y se pega con la cinta adhesiva al otro extremo. ¿Cuántas cintas se obtienen cuando se corta a lo largo de la línea pintada con el crayón?
La Banda de Moebius en el arte
El símbolo internacional del reciclaje.
El logo de los partidos humanistas.
Y con un artista en lo excelso: Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) artista neerlandés conocido por sus grabados xilográficos y litográficos que tratan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.
En las matemáticas hay una rama que se le llama Topología. La imaginación de los que la estudian vuela, pues cuando se deforma al espacio, como ocurrió con el agujero que se veía imposible, se encontró una solución “creciendo” la superficie de la hoja. Una pregunta que se antoja es ¿se puede seguir hablando de una hoja de papel después de realizarle los cortes?
Uno de los ejemplo tradicionales de la Topología es lo que encontró un matemático alemán de finales del siglo XIX llamado August Ferdinand Möbius (1790 - 1868), quien interesado en la Geometría Proyectiva se encontró con este tipo de superficies, las cuales tienen siempre una cara, independientemente de las transformaciones que se les haga.
Primaria (5º y 6º):
- Figuras y cuerpos geométricos.
- Ubicación espacial.
- Medida.
- Explica las características de diferentes tipos de rectas, ángulos, polígonos y cuerpos geométricos.
- Utiliza sistemas de referencia convencionales para ubicar puntos o describir su ubicación en planos, mapas y en el primer cuadrante del plano cartesiano.
